Matemática – Juros I
Definição de Juros
O capital é um dos fatores de produção, torna-se mais que justo que se tenha uma remuneração, esta é denominada de JUROS.
O juro é a premiação ou a retribuição do capital empregado. Sendo assim os juros representam de fato a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva, seja ela de qualquer fim. Os juros podem ser capitalizados da seguinte forma: simples ou composto, ou mesmo, empregados de forma mista.
Ainda falando sobre definição de juros é a remuneração pelo empréstimo de algum dinheiro. Os juros existem porque a grande maioria das pessoas prefere o consumo imediato de um bem, e está disposta a pagar um preço maior por isto. Em contrapartida, a pessoa que tiver a capacidade de esperar o tempo necessário para auferir a quantia necessária para comprar o determinado item, e neste entretempo estiver disposta a emprestar esta quantia com paciência reduzida, será recompensado por esta operação na proporção do tempo e risco de receber de volta o capital. A equação tempo X risco X quantidade de dinheiro disponível no mercado financeiro é que define o que é tão conhecida como taxa de juros.
Para checar quanto o capital rende, é indispensável que se conheça os elementos necessários que compõem estes cálculos financeiros e também a forma de aplicação.
Estes elementos são:
o capital, taxa, juros e tempo.
Mais antes veja a definição de capital, para que se tenha uma definição e compreensão melhor em soluções de problemas.
Juros Compostos
É denominado regime de Juros Compostos aquele onde os juros relativos a cada período são calculados sobre o montante referente ao período anterior.
Em resumo, os juros que são produzidos ao fim de cada período passaram a fazer parte do capital ou montante que serviu de base para cálculo, de modo que o total conseguido será a base para os cálculos em períodos seqüentes.
O sistema de juros compostos é mais comum e usado no sistema financeiro, pois para os bancos e empresas financeiras principalmente, que trabalham com produto “dinheiro”, torna-se muito mais vantajoso e rentável que se trabalhe com este tipo de regime de juros. Neste caso é mais útil para o usuário que saiba como se aplica estes conceitos, pois em provas de concursos ou mesmo no dia-a-dia, é necessário que se saiba como efetuar estes cálculos.
Desta forma, vale frisar que neste regime de juros, o resultado dos juros de cada período é incorporado ao capital inicia, gerando um novo montante para o período seguinte.
Definimos como capitalização o momento em que os juros encontrados no período são incorporados ou somados ao valor principal.
Vejamos um exemplo:
Após quatro meses de capitalização, temos o seguinte:
1º mês: M = P.(1 + i)
2º mês: O valor principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: O valor principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
E assim sucessivamente, com o período sendo relativo ao que foi acordado.
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Obs. Vale ressaltar que a taxa “i” deve estar na mesma media de tempo do valor “n”, ou seja, para se pode ter o cálculo correto, tem que esta em dia/dia, mês/mês, ano/ano.
Desta maneira, para que se possa efetuar o cálculo apenas dos juros, simplesmente diminua o valor principal do montante ao final do período dado no problema.
Obtemos a fórmula:
J = M – P
Exemplos para fixação de conteúdo
Observe:
Um montante ou valor principal, mês a mês, de uma aplicação de R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.m. em um período de 6 meses no regime de juros compostos :
Solução:
Observações:
a) Os juros e o montante, no fim do 1º mês, tem os valores iguais aos que seriam produzidos no sistema de juros simples.
b) Os juros vão se tornando maiores mês a mês ou período a período, de modo que após o 1º mês, a diferença entre um Montante calculado no sistema de juros compostos e o correspondente valor no sistema de juros simples, se torna cada vez maior de acordo com o tempo que vai sendo aplicado.
c) No exemplo acima, cada Montante novo é obtido calculando-se um aumento de 8% sobre o Montante anterior, o que resulta em aumentos constantes com uma taxa fixa de 8%.
No exemplo de fixação acima, é observado também a definição de Capitalização. Como este é o processo de incorporação ou soma dos juros ao capital ou montante inicial de uma operação financeira, verifique na terceira coluna a evolução do aumento do Montante Final.
É fato comum também ser encontrado em diversas situações as expressões do tipo: regime de capitalização simples e regime de capitalização composta ao invés de regime de juros simples e regime de juros compostos.
Em alguns problemas ou enunciados feitos no mercado financeiro ou em provas de concursos, frequentemente são encontradas outras expressões usadas para indicar o regime de juros compostos:
» taxa de X% a.a. capitalizada semestralmente – Expressão indica juros compostos capitalizados por semestre;
» taxa composta de X% a.m. – Expressão indica juros compostos com capitalização mensal;
» capitalização composta, montante composto – Expressão indica a atuação do sistema de juros compostos.
Exercícios sobre juros compostos:
1) Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao mês. Calcule o Montante desta aplicação após dois meses.
Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação
M = P . (1 + i)n
Resumindo os dados do problema:
Capital ou Principal – P = 300
Taxa – i = 10% = 0,1
Períodos de Capitalização – n = 2
Primeiramente calcule o montante:
Substituindo temos : M = 300 . (1 + 0,1)²
M = 300 . (1,1) ²
M = 300 . (1,21)
M = 300 . 1,21 = 363,00
Então, o Montante da aplicação fornecida neste problema após 02 meses é de R$ 363,00.
2) Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá ser pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês. Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido.
Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação
M = P . (1 + i)n
Resumindo os dados do problema:
Capital ou Principal – P = 30.000,00
Taxa – i = 3% = 0,03
Períodos de Capitalização – n = 12
Primeiramente calcule o montante:
Substituindo temos : M = 30.000 x (1 + 0,03)12
M = 30.000 x (1,03) 12
M = 30.0000 x (1,4257)
M = 30.000. x 1,4257 = 42.771
Então, o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo o valor de R$ 42.771,00.
3) Calcule o capital que aplicado à taxa composta de 4% a.m. dará origem a um montante de R$ 4.650,00 no fim de 08 meses
Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação
M = P . (1 + i)n
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Relembrando acima a fórmula do capital ou montante.
Resumindo os dados do problema:
M = 4.650
i = 4% = 0,04
n = 8
Assim, é necessário calcular o capital que, isolando a partir da fórmula matriz, temos:
M
P = (1 + i)n
Explicando a fórmula acima o Capital ou Principal é igual ao Montante dividido por (1 + i)n
Substituindo os dados:
P = 4.650 / (1 + 0,04)8
P = 4.650 / (1,04) 8
P = 4.650 / (1,3685)
P = 4.650 / (1,3685)
P = 3.397,88
Então, o capital procurado é de R$ 3.397,88.
Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos024.asp