Matemática – Produto notável – 1º produto
Definição
O cálculo algébrico é uma verdadeira ferramenta de apoio para a álgebra e para o assunto de geometria.
Será estudado neste tutorial especialmente um produto de extrema importância para que se possa efetuar cálculos algébricos com melhor precisão e segurança, pois é usado com muita freqüência em questões que abordam o cálculo de álgebra.
Esses produtos que serão estudados são os chamados produtos notáveis. Pode ser definido como um resultado de uma multiplicação e o termo notável é colocado por ser um algo importante, algo que se destaca algo que é notado.
* Primeiro produto notável
Observe a figura acima, o qual o lado mede a.
Veja que área do objeto é: Área: a²
Agora vê-se a figura abaixo:
Tem-se, então: (a+b)²
É possível ter outras maneiras de se efetuar os cálculos desse quadrado, que pode ser feito somando as áreas de cada uma das figuras que o formam.
Observe que se têm duas figuras de um quadrado, cujos lados são a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujo tamanho podem ser definidos por a e b.
Desta forma, é possível efetuar o cálculo da área do quadrado acima usando a forma de cálculo de álgebra. Observe:
(a + b)² = (a+b) . (a+b)
Elevar ao quadrado os termos é mesmo que multiplicar dois fatores iguais dos mesmos dados fornecidos.
(a + b) . (a + b ) = a² + ab + ba + b² =
É possível aplicar a propriedade distributiva da operação multiplicação. Esta propriedade já foi ensinada em tutoriais anteriores.
= a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Efetuam-se os termos semelhantes.
Temos então:
(a+b)² = a²+2ab+b²
O termo obtido acima, chama-se trinômio.
Neste caso ele é denominado trinômio quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado dos termos (a + b).
* Reveja o produto novamente
Quadrado da soma: ( a+ b )² = Trinômio quadrado perfeito = a² + 2ab + b²
(a + b ) ² = a² + 2ab + b²
Onde:
a = 1º termo
b = 2º termo
a² = quadrado do primeiro termo
2ab = duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo
b² = quadrado do segundo termo
Assim, o primeiro produto notável pode ser definido como:
* Exemplos de fixação
a) Calcule os termos (2 + 3) ²:
O cálculo pode ser feito de duas formas:
(3 + 4 ) ² = 7² = 49
(3 + 4) ² = 3² + 2.3.4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
Desta forma, é encontrado o caminho do resultado em duas formas diferentes de se efetuar os cálculos.
Nota-se neste simples exemplo, que não faz sentido nenhum usar a conclusão do produto notável, pois, como os termos da soma são números, é possível encontrar o resultado diretamente, somando os respectivos termos e os elevando ao quadrado.
Para o caso de uma soma algébrica, fica impossível efetuar a adição, e então é preciso usar a regra de produto notável.
b) Calculo os termos (5 + 4 ) ²:
Calculando das duas formas:
(5 + 4 ) ² = 9² = 81
(5 + 4) ² = 5² + 2.5.4 + 4² = 25 + 40 + 16 = 81
c) ( x + 2 ) ²
Usando a regra de produto notável:
x² + 2.x.2 + 2²
x² + 4x + 4
d) (4x + 4) ²
Usando a regra de produto notável:
(4x) ² + 2.4x.4 + 4²
16x² + 32x + 16
e) (a + 4b) ²
Usando as regras de produto notável:
(a)² + 2.a.4b + 4b²
a² + 2.a.8b + 16b²
Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos016.asp