Home Matérias / Concurso Matemática Matemática – Progressão aritmética I


Definição

No tutorial anterior, foi visto que  progressão aritmética é uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r).

Para relembrar o que é o termo PA = PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada  dos respectivos termos chama-se de série aritmética.

 

* Propriedades de uma PA

Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possível através destas resolver várias questões de PA.

 

– 1ª Propriedade

Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, …ak-1, ak, ak+1 … an-1, an …)

Ex.:

a) P.A = (1,3,5,7,9,11)

Temos:

5 = 7 + 3                7 = 5 + 9

2                              2

b) P.A = (2,4,6,8,10,12)

Temos:

6 = 4 + 8                10 = 12 + 8

2                              2

 

– 2ª Propriedade

Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, a3, …, ai, …ak, … an-2, an-1, an)

P termos                            P termos

Ex.:

a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, são eqüidistantes dos extremos, pois:

7 + 31 = 31 + 7
b) 1,2,3,…98, 99, 100.

Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = … = 1 + 100
c) 1,2,3,…88,89,90.

Logo:  2 + 89 = 3 + 88 = … = 1 + 90

 

– 3ª Propriedade

Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos extremos.

Assim, na P.A. (com número ímpar)

(a1, a2, …, ai, …ak, … an-1, an)

P termo                      P termo

Conclui-se que:

Ex.:

a) 3, 5, 7, 9, 11,

7 = 3 + 11

2
b) 15,17,19,21,23

19 = 15 + 23

2

 

* Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.)

A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Ex.:

Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8…)

Sn = (a1 + an)N

2

S20 = (a1 + a20)20

2

a20 = ??

a20 = a1 + 19r =

a20 = 2 + 19r =

a20 = 2 + 19.(3) = —> a20 = 2 + 57 = 59

S20 = (a1 + a20)20 = —> S20 = (2 + 59)20

2                                       2

S20 = 61 . 20 1.220 = —> S20 = 610

2           2

* Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.)

Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde  a1 e an são os extremos.

Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).

Ex.:

a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38

3, ____,____,____,_____,38

a1 = 3

an = 38

n = 6

r = ?

an = a1 + (n – 1)r —> Resolvendo r = 7

Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38

 

* Exercícios para fixação de conteúdo

a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2 estejam, nessa ordem, em uma P.A.

Resolvendo:

P.A. [(x + 4)2, (x – 1)2, (x + 2)2]

Sendo: a1 = (x + 4)2  |  a2 = (x – 1)2   | a3 =  (x + 2)2

Onde : a2 – a1 = a3 – a2 —> (x – 1)2   – (x + 4)2  = (x + 2)2  – (x – 1)2   —->

(x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) =   —->

-2x – 8x + 1 – 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = —> -10x – 15 = 6x + 3 = —->

-10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 —> 16x = -18 —-> x = -18/16 —> x = -9/8

 

b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,…)

Resolvendo:

Dados do problema:

a1 = 4

r = 7 – 4 = 3

n = n

an = a1 + (n – 1)r

an = 4 + (n – 1)3

an = 4 + 3n – 3

an = 3n + 1

Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos046.asp

   

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