Matemática – Progressão aritmética
Definição
Podemos chamar de progressão aritmética uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r).
P.A = PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética.
* Classificação de uma P.A.
– Infinita ou Ilimitada
Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de “infinita ou ilimitada”.
Ex.:
(8, 10, 12, 14, 16….)
(5, 10, 15, 20, 25….)
(4, 8, 12, 16, 20 ….)
– Finita ou Limitada
Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de “finita ou limitada”
Ex.:
(6, 8, 10)
(3, 6, 9)
– Em relação à razão (r)
Pode ser :
a) Crescente
Quando a razão “r” > 0
Ex.:
(3, 6, 9, 12) —-> r = 3
(2, 4, 6, 8) —-> r = 2
(15, 20, 25, 30) —> r = 5
b) Decrescente
Quando a razão “r” < 0
Ex.:
(6, 4, 2) —> r = -2
(12, 9, 6, 3) —-> r = -3
(16, 12, 8, 4) —-> r = -4
c) Estacionária
Quando a razão “r” = 0
Ex.:
(3, 3, 3) —-> r = 0
(7, 7, 7) —-> r = 0
(5, 5, 5) —-> r = 0
* Notação de uma PA
Observe os termos abaixo:
(a1, a2, a3, a4, …., an – 1, an)
Logo pela definição, temos o seguinte:
a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = … = r
Ex.:
a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4
b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3
Fórmula do Termo Geral de uma PA
Partindo da definição inicial, temos:
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
.
.
aN = a1 + (n – 1)r
Assim:
– Exemplos:
A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressão aritmética.
a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,….)
Dados do problema:
a1 = 1
n = 5
r = 2
Porquê r = 2 ???
Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,…)
1 + 2 = 3
3 + 2 = 5
Fórmula geral da P.A.
an = a1 + (n – 1)r
an = 1 + (5 – 1).2
an = 1 + (4).2 —> an = 1 + 8 —–> an = 9
* Exercícios para fixação de conteúdo
Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa treinar os fundamentos.
1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :
a. ( ) 4
b. ( ) 5
c. ( ) 6
d. ( ) 7
e. ( ) 9
Solução:
Dados do problema:
a1 = 8
an = 43
n = 8
r = ?
an = a1 + (n – 1)r
43 = 8 + (8 – 1)r
43 – 8 = 7r
7r = 35
r = 5
Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”
Como saber se o resultado está certo ?
Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43…)
2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10
a. ( ) 0
b. ( ) 4
c. ( ) 2
d. ( ) 5
e. ( ) 3
Solução:
Dados do problema:
a1 = ?
an = 10
n = 5
r = 2
Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionar problemas, assim há uma fixação melhor da fórmula.
an = a1 + (n – 1)r
10 = a1 + (5 – 1).2
10 = a1 + (4).2
a1 + 8 = 10
a1 = 10 – 8
a1 = 2
Dessa forma, a resposta correta é a letra “c”
Como saber se o resultado está certo?
Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12…)
Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos045.asp